什么是奇函数(奇函数为什么f(0)=0)

如果我们细细研究近几年高考数学试卷，大家不难发现关于函数奇偶性的问题年年都会考到，题型多样，考查的侧重点也有区别。函数是高中数学的重要内容之一，而奇偶性实际上是图像关于原点或者是y轴的对称性，所以在图形上体现得尤为明显，在研究函数中就有十分重要的地位.

函数奇偶性作为高考数学考查的常考点，此类题型的考点主要考查奇函数和偶函数的定义及其等价形式，还有函数奇偶性与函数其他性质的综合应用。因此，我们一定要熟练掌握奇函数和偶函数的定义及其等价形式，以及函数的其他性质。

我们今天就一起来看看高考数学常考考点：函数的奇偶性及周期性。

我们都知道，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。图象特点是关于y轴对称。

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。图象特点是关于原点对称。

奇、偶函数的有关性质：

1、定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

2、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；

3、若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

4、利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反。

若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期。

典型例题1：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

利用定义判断函数奇偶性的方法：

1、首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；

2、如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．

[注意]　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性。

函数奇偶性的应用：

1、已知函数的奇偶性求函数的解析式。

利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式。

2、已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数。

常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值。

3、奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

典型例题2：

周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。

函数奇偶性的问题总体来讲还是较简单的，但是简单的题目有时候反而更容易丢分，因此考试时切不可粗心大意。

同时高考数学考查函数奇偶性的判定以及利用奇偶性求参数,也可以与函数的单调性、函数的图象、不等式等问题融合,形成综合性较强的一些问题。